##  [Cercle de Mohr](/fr/node/66084) 

 Définition

Construction graphique de transformation des contraintes en plan qui représente les composantes de contrainte normale et de cisaillement subies par toutes les orientations de plans passant par un point matériel en conditions bidimensionnelles (contrainte plane), permettant de déterminer par construction géométrique les contraintes principales, l’orientation des plans principaux et la contrainte de cisaillement maximale.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les relations algébriques entre contraintes normales in‑plan (σx, σy) et cisaillement (τxy) se représentent par des points sur un cercle dont le centre et le rayon donnent la contrainte moyenne et les contraintes principales (aux extrémités du cercle) ; l’angle géométrique sur le cercle correspond au double de la rotation du plan physique.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Scénario illustratif → À partir de contraintes in‑plan mesurées σx, σy et τxy à un point d’interface dentaire mince, tracer le cercle centré en (σx+σy)/2 avec un rayon √[((σx−σy)/2)^2+τxy^2] ; lire les contraintes principales aux extrémités gauche/droite et obtenir les angles des plans principaux en divisant par deux l’angle sur le cercle. Ces valeurs servent à évaluer le risque de rupture de l’interface.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser le cercle de Mohr plan pour un état de contrainte tridimensionnel (où les composantes hors plan sont significatives) ou pour un matériau fortement non linéaire, dépendant du temps ou anisotrope sans adaptation ; l’erreur sémantique est d’appliquer une transformation plane linéaire lorsque des composantes tensorielles supplémentaires ou des lois constitutives s’imposent.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une utilisation correcte fournit des contraintes principales et des orientations non ambiguës sous l’hypothèse de contrainte plane, utiles à la conception ; une mauvaise application conduit à des valeurs de contraintes principales erronées et à des orientations de rupture prédites incorrectes, risquant de fausser le choix des matériaux ou la conception des prothèses.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Lorsque les contraintes hors plan ou le tenseur complet tridimensionnel ne sont pas négligeables (éléments épais, sollicitations multiaxiales), il faut remplacer la construction plane par une analyse tridimensionnelle (sphère de Mohr ou méthodes tensorielles complètes) ; de même, pour des comportements matériaux non linéaires ou dépendants de l’histoire, la transformation linéaire simple n’est plus applicable.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Dans : analyses bidimensionnelles (contrainte plane ou approximation de planéité) linéaires élastiques en un point dans des milieux homogènes ou localement homogènes. Cas limite : structures minces mais stratifiées où la contrainte plane peut tenir localement mais où les cisaillements intercouches ou l’anisotropie importent. Hors : états de contrainte véritablement tridimensionnels, régimes de grandes déformations ou viscoélastiques, et problèmes discrets de contact sans définition de contraintes continues.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Simplicité et visualisation géométrique intuitive (cercle de Mohr) ↔ fidélité aux analyses tensorielles tridimensionnelles et dépendantes du matériau ; le cercle offre une compréhension rapide mais concurrence des modèles plus complets et complexes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le cercle de Mohr est un outil visuel et algébrique synthétique qui convertit des composantes de contrainte in‑plan en invariants principaux utilisables dans la conception, mais son utilité dépend explicitement des hypothèses planes et linéaires sous-jacentes.